COLOQUIOS DE INFORMATICA EDUCATIVA

          Las siguientes reflexiones nacen a partir de una experimentación con el uso intensivo de instrumentos informáticos con alumnos de nivel licenciatura en Ingeniería de una universidad mexicana y con alumnos de una Maestría en Docencia de las Matemáticas pero también a partir del trabajo cotidiano con colegas de diferentes partes del mundo y de trabajos de investigación del autor en la línea de integración de la informática en la educación matemática.

          Dado que el espacio es poco para un tema tan vasto sólo se harán algunas referencias a algunas de las problemáticas ligadas al título de esta participación comenzando por el uso que los matemáticos hacen de Internet.

Matemáticas e Internet

Una óptima referencia para entender la relación entre matemáticas e Internet, podemos hallarla en Klotz (1997). Su artículo hipertextual “Mathematics and the World Wide Web” da mucha luz sobre el tema, ahí se indican muchos factores que no son exclusivos de las matemáticas sino que pueden ser motivo de reflexión para estudiar la relación entre otras áreas del conocimiento e Internet. En ese artículo se mencionan algunos mitos y algunas realidades, se presentan, entre otras cosas, varios ejemplos sobre Internet:

·        cómo ha ingresado en el mundo de las matemáticas;

·        por qué está siendo usada por los matemáticos;

·        cómo está siendo usada por los investigadores en matemáticas;

·        cómo está siendo usada por los profesores de matemáticas en el nivel universitario.

Además de lo anterior se resaltan tanto algunas problemáticas como algunas ventajas del uso de Internet en el mundo de las matemáticas (no solo docencia sino también investigación y difusión).

En el caso específico de los maestros, Klotz señala, entre otros aspectos, cómo están usando la Red:

·        como depósito de diferentes materiales de matemáticas (tópicos de historia, diccionarios específicos, introducciones a ciertas teorías, temas de investigación en educación matemática, etc.);

·        como depósito de software de matemáticas;

·        como depósito de informaciones acerca de los cursos;

·        como depósito de cursos completos;

·        para difundir proyectos de reformas curriculares;

·        para aglutinar a comunidades educativas que tienen los mismos temas o de estudio o los mismos enfoques.

Se recomienda la lectura completa del artículo dada la riqueza de ideas y problemáticas que presenta.

Didáctica de las matemáticas en la era informática

En los últimos 20 años la investigación en didáctica de las matemáticas ha cambiado de paradigma (ver al respecto, D'Amore, 1999): se pasó de pensar sólo en la enseñanza a pensar sobretodo en el aprendizaje lo que ha puesto nuevos problemas tanto a los investigadores como a los docentes.

Sólo por señalar un ejemplo específico. Cuando un maestro “vive” (incluso de manera inconsciente) en el paradigma de la enseñanza, juzga el trabajo de sus alumnos a partir de “errores” mientras que con el “nuevo” paradigma los clásicos “errores” son analizados a partir de categorías diferentes: obstáculos, conflictos, misconcepciones, modelos intuitivos, modelos parásitos, etc.

Este cambio de paradigma ha coincidido con la gran difusión, a finales del siglo pasado, de instrumentos informáticos que han llegado al mundo escolar (de todos los niveles), desde calculadoras hasta computadoras, pasando por instrumentos más sofisticados como CBL’s o CBR’s (para quien no conozca este tipo de aparatos se sugiere visitar las secciones “educativas” de los sitios web de la Texas Instruments o de la Casio), proyectores de computadora, etc. y naturalmente, el uso de Internet.

Esta gran difusión ha abierto “otro frente” de discusión en el mundo de la didáctica de las matemáticas: cómo y porqué integrar la informática en la educación matemática. En el momento actual existe una gran reflexión internacional sobre estas problemáticas específicas, que van desde los problemas derivados de la alfabetización informática hasta la elaboración de exámenes en línea pasando por el uso de software de matemáticas en cursos regulares, las diferentes políticas educativas al respecto (por ejemplo, la prohibición del uso de ciertas tecnologías en los exámenes), etc.

Problemas de lenguaje

En el mundo de la integración de la informática en la educación matemática confluyen problemáticas específicas muy ricas de diferentes áreas del conocimiento: matemáticas, lenguaje cotidiano e informática, problemáticas que juntas, generan nuevas problemáticas de nuevo tipo.

Tan sólo en el caso del lenguaje, en el caso específico del uso regular de software de matemáticas, los alumnos enfrentan problemas de lenguaje de muy distinto tipo: lenguaje matemático, lenguaje cotidiano, lenguaje informático, lenguaje del software específico (la sintaxis por usar cambia de programa a programa) y por si fuera poco, la convivencia con una lengua extranjera (el inglés), de esta mezcla “explosiva” los países anglosajones están exentos sólo del último aspecto pero los demás prevalecen.

Las problemáticas son tan ricas y tan complejas que existen enteras líneas de investigación que tratan de entender sólo la relación entre lenguaje matemático y lenguaje cotidiano, sector de estudio que se ha desarrollado bajo el supuesto de la utilización de una tecnología "papel y lápiz", estas problemáticas no pueden ser ignoradas cuando se utiliza la informática en la educación matemática como lo demuestra el siguiente ejemplo que se refiere a la argumentación y a la escritura.

R. Duval, experto en didáctica de las matemáticas con interés en la comprensión de textos y en el aprendizaje de las formas de razonamiento, en uno de sus tantos trabajos sobre la argumentación (Duval, 1999) y en referencia a la fuerza de un argumento, inserta la siguiente nota (p.7) (el cursivo se halla en el original, las negritas son nuestras) «Es importante el no confundir dos situaciones, la de la argumentación oral y la de la argumentación escrita. La primera se hace en tiempo real, es decir, en una interacción directa e inmediata con el interlocutor. La segunda se hace en tiempo diferido y no limitado, sin interacción directa con el interlocutor, por lo que existe la posibilidad de alejamiento y reinicio. Esto cambia la ejecución de la argumentación…». En un ambiente "papel y lápiz" la situación descrita por Duval tiene un claro significado y con respecto a la argumentación sigue siendo válida en cualquier contexto, pero el desarrollo de Internet ha cambiado el concepto de tiempo real ya que están disminuyendo las diferencias entre argumentaciones orales y escritas. En efecto, en un ambiente electrónico, el nivel "más bajo" de tiempo real con respecto a esta situación lo constituye el correo electrónico en donde las argumentaciones son escritas pero pueden ser muy cercanas en el tiempo por lo que la posibilidad de alejamiento y reinicio que cambia la ejecución de la argumentación de la que habla Duval pierde fuerza, se vuelve más débil y al cambiar, modifica naturalmente la ejecución de una argumentación. Esta situación se agudiza si consideramos los programas chat (tanto escritos como en video) o las mesas redondas virtuales ya que las argumentaciones escritas llegan a los interlocutores en tiempo real como sucedía alguna vez con las argumentaciones orales.

Las cuestiones del lenguaje hacen crisis en países como México en donde no existe el hábito de la lectura mucho menos el de la escritura, pero como señala Simone (2000), uno de los aspectos positivos de la difusión masiva de la informática es que está acercando a la escritura a personas que no tenían ese hábito. Esto conduce hacia una reeducación tanto de alumnos como de maestros. Por ejemplo, en el caso particular de las clases de matemáticas, los alumnos de un curso tradicional están acostumbrados a plantear sus dudas de manera verbal y no escrita, no están acostumbrados a argumentar o discutir de matemáticas por escrito y esta “nueva” habilidad se les debe enseñar. Veamos el siguiente ejemplo de uno de mis alumnos que vía correo electrónico me consulta y hace lo que muchos (al inicio): hacen preguntas tan vagas que ¡es imposible responder!

«To: balderas@sunserver.dsi.uaq.mx, Subject: DUDA, Date: Tue, 19 Feb 2002

Hola Angel

Te escribo para decirte que estaba rehaciendo el lab2 y cuando grafiqué si me aparecía la gráfica, pero con rayas horizontales ejemplo… y también no pude sacar en que tiempo era 3000 la diferencia de las 2 funciones»

Una vez detectado que se trata de una cuestión general y no particular de este alumno, se hace una respuesta colectiva que es enviada a todos los estudiantes de todos los cursos:

«ABP. Francisco Javier, cuando hagas preguntas de este tipo es MUY IMPORTANTE que me escribas la expresión matemática que estás intentado graficar para poder identificar el problema (lo mejor es que me mandes el archivo de Derive con el que estás trabajando), especificando CLARAMENTE:

·        el número de laboratorio, hoja de trabajo, tarea, etc.

·        el número de ejercicio,

·        el inciso (en el caso de que existan),

·        la expresión matemática a la que haces alusión.»

Es decir, en un cierto sentido tenemos que educar a los alumnos en como comunicar de manera escrita.

          Otro fenómeno interesante se refiere a la “contaminación” de los lenguajes natural y matemático por parte del lenguaje informático así como las posibilidades de socialización inmediata que tenemos hoy en día. Veamos el siguiente ejemplo:

«Date: Mon, 26 Feb 2001, Subject: RE: mecanica duda, Cc: ED01, Bcc: MR

Hola, mi problema se halla en el punto c del 2o. ejercicio, hoja de trabajo 3.

Graficando las funciones #39 y #40, puedo observar el punto t en el que la temperatura es igual, pero en el momento de igualar #41-#42=0, usando Precision Aprox,. rango de 150-200, SOLVE sobre #43, aparece en el monitor: NO solutions found. Le mando el archivo.

Attachment Converted: "C:\Allegati\Prob_2.mth"»

Pueden resaltarse varios elementos de esta comunicación:

1.      Las dudas de un alumno pueden socializarse con los demás estudiantes del curso si el profesor así lo considera conveniente (campo Cc);

2.      Las dudas pueden socializarse con otros profesores de cursos análogos, por ejemplo en un contexto de investigación educativa (campo Bcc);

3.      Contaminación en el lenguaje matemático: el alumno habla de las funciones #39 y #40 (con el fin de evitar transcribir las reglas de correspondencia), haciendo así referencia a un archivo de un software que sirve de mediador de la comunicación entre maestro y alumno (se observa que el alumno mandó su archivo); usa términos que son comandos de un software para referirse a operaciones matemáticas (SOLVE sobre #43 debe entenderse que intentó resolver con el programa la ecuación de la expresión # 43); etc.

Problemas de notación

          No sólo se trata de una cuestión de lenguaje sino también de una cuestión de notación como puede observarse en el siguiente ejemplo:

«To: Angel Balderas, Date: 26/12/2000, Subject: Duda.....

Hola, en el ejercicio 7 de la pág. 233 de Braun, dice que debemos hallar la transformada de Laplace de la siguientes funciones:

sen(t)/t, (cos(at)-1)/t, (e^(at)-e^(bt))/t

dice que apliquemos la fórmula del ejercicio 6, que es: L{f(t)/t}=int(F(u),u,inf,s)

no entiendo como aplicar la fórmula dado que no se quien es F(u).

En el ejercicio 3 de la pág. 245 de Braun, dice: resolver el problema de valores iniciales dif(y,t,2)-3dif(y,t)+2y=f(t); y(0)=1, y'(0)=0…»

El elemento central de esta comunicación se refiere a uno de los principales problemas de la comunicación matemática cuando se usan instrumentos informáticos: el problema de la notación. En una de las líneas, la escritura manual sería L = F(u)du, sin embargo, la alumna sustituye el símbolo de integral por la función INT del software Derive y usa la sintaxis de dicho programa para representar tanto la variable como los límites de integración, usa una escritura lineal sin mayor problema lo que muestra flexibilidad para pasar de una forma a otra. En este caso el software le dio al alumno una nueva notación lo que aumenta sus posibilidades de comunicación remota. Lo mismo sucede con la parte final que reporto, en lugar de -3 +2y=f(t), la alumna utiliza una notación lineal no matemática auxiliándose de la función DIF para representar a la derivada de una función, lo mismo puede decirse de la notación para las potencias.

Naturalmente, esto además de ciertas ventajas también puede ocultar ciertos peligros. Al respecto Spunde (1999) llama la atención sobre un fenómeno negativo que se refiere al hecho de instructores que insisten con los estudiantes en que los productos comerciales (lenguajes computacionales, CAS (Computer Algebra Systems), hojas de cálculo, etc.) deben ser usados sin modificaciones «dado que eso es lo que los alumnos hallarán fuera, en el "mundo real" cuando es posible dar varios ejemplos de software usado por alumnos y que una vez terminado el curso no lo vuelven a usar. Esto implica una abdicación de la responsabilidad en el suministro de terminología y notación adecuadas para el estudio de un tema particular en una etapa particular de desarrollo  con lo que de hecho eleva a los productores de software, a un status de expertos educativos, cuando en realidad a los vendedores de software no les interesa ni el desarrollo de las matemáticas ni mejorar las técnicas de enseñanza si estos cambios amenazan su sobrevivencia» (p.143). Más adelante, el mismo autor señala que en un ambiente "papel y lápiz" la notación sencilla ha sido vista como una herramienta efectiva del pensamiento, sin embargo en un ambiente computacional debe pensarse también en la implementación de procedimientos, sin embargo «la mejor forma de obtener buenos resultados con las nuevas tecnologías, frecuentemente, es diferente de las perspectivas desarrolladas con anterioridad» (p.145)

¿Cómo estoy usando yo Internet con mis alumnos?

Como se señala en Klotz (1997) yo soy uno de esos profesores de matemáticas que usan Internet como depósito para los materiales de mis cursos. Hasta el momento, el sitio web más elaborado que tengo es el de mi curso de ecuaciones diferenciales en donde deposito no solo tareas y apuntes sino también los resultados de los exámenes y otra serie de informaciones útiles para mis alumnos.

Además uso regularmente el correo electrónico para comunicarme con mis alumnos. Normalmente es para asesorarlos en su estudio pero por este medio también intercambiamos archivos de diferentes programas de matemáticas, doy indicaciones y avisos generales, etc.

El uso regular e intensivo de Internet con mis alumnos me ha llevado a tener que diseñar técnicas de alfabetización informática y sobre esto estoy tratando de sensibilizar a los ambientes clásicos de investigación en didáctica de las matemáticas como puede verse en Balderas (2001) (la versión original es en italiano pero existe una versión en español). El tipo de informaciones proporcionadas puede consultarse en las secciones “notas técnicas”, “uso de internet”, “utilerías” e “indicaciones” de mi curso de ecuaciones diferenciales.

Otro elemento central por considerar para hacer un uso regular de instrumentos informáticos en la educación matemática es el garantizar el acceso de los alumnos a dichos instrumentos por lo que en mis cursos, desde la primera semana se obtiene información de este tipo (por medio de cuestionarios específicos): qué alumnos tienen computadora en su casa, cuáles usan regularmente el correo electrónico, qué software de matemáticas han utilizado anteriormente, etc. Una vez recopilada esta información se busca de paliar las desventajas de algunos de los alumnos, por ejemplo pidiendo a algunos alumnos que ya saben (por lo general, voluntarios), que ayuden a sus compañeros a obtener una dirección de correo electrónico gratuita (cabe señalar que la universidad les proporciona el acceso en las instalaciones escolares).

Es tomando en cuenta la falta de equidad, en países como México, que hemos seguido una estrategia de uso de “informática pobre” en el sentido de privilegiar la utilización de software de amplia difusión aunque se pierdan algunos aspectos interesantes de software más sofisticado, nos referimos, por ejemplo a la utilización de Word en lugar de procesadores de textos específicos para matemáticas como LaTex o Scientific Notebook, al uso de la versión DOS de Derive o al uso de DPGraph para graficar en el espacio en lugar de usar Maple o Mathematica sólo por señalar algunos ejemplos. Estos aspectos son muy importantes pues tienen que ver con la llamada “fractura digital” a la que alude Colwell (2000).

Referencias bibliográficas

balderas a. (2001), Sull’importanza dell’alfabetizzazione informatica, Quaderni di ricerca in didattica, No. 10, 115-131. Copia electrónica en español en http://dipmat.math.unipa.it/~grim/ (10/03/02).

[CASIO] CASIO Education (27/06/00)
http://www.casio.co.jp/edu_e/product/ea100/

colwell r. (2000), Information technology Ariadne’s thread through the research and education labyrinth, EDUCAUSE review, May/June 2000, 15-18. Puede hallarse una copia electrónica en http://www.educause.edu/pub/er/erm00/articles003/colwell.pdf (10/03/02).

d'amore b. (1999), Elementi di Didattica della Matematica. Bologna, Pitagora Editrice.

duval r. (1999), Argumentar, demostrar, explicar: ¿continuidad o ruptura cognitiva?. México, Grupo Editorial Iberoamérica. Este texto forma parte de la colección Bologna-Querétaro. http://www.uaq.mx/matematicas/col (21/11/01-10/03/02).

klotz, g. (1997), Mathematics and the World Wide Web. Math Forum
http://mathforum.org/articles/epadel/index.html (16/04/97-05/03/02).

simone r. (2000), La Terza Fase (Forme de sapere que stiamo perdendo). Bari, Editori Laterza.

spunde w.g. (1999), Our Future: a very discrete affair, en Rogerson A. (ed.), Proceedings of the International Conference on Mathematics Education into the 21^st Century: Societal Challenges, Issues and Approaches, vol. II, El Cairo, 140-147.

[TEXAS] Texas Instruments Education (10/03/02)
http://education.ti.com/product/prselect.html